Acerca del grupo de investigación
Nuestra investigación se centra principalmente en el estudio cualitativo de soluciones a ecuaciones diferenciales parciales no lineales, con especial énfasis en soluciones elípticas o parabólicas. En general, buscamos comprender la estructura y las propiedades asintóticas de conjuntos de soluciones a ecuaciones específicas. Los problemas que nos interesan surgen en diversos campos, como la ciencia de los materiales, la astronomía, la teoría de la combustión, la superconductividad y la biología matemática.
Por otro lado, la comprensión de estos problemas ha propiciado el desarrollo de herramientas poderosas en diversas ramas de las matemáticas; por ejemplo, este conocimiento fue fundamental para la reciente resolución de la famosa conjetura de Poincaré. Dichos problemas han planteado interrogantes que, si bien son fáciles de enunciar, resultan difíciles de resolver y han impulsado históricamente el desarrollo del análisis matemático, dando lugar en las últimas décadas a avances en el cálculo de variaciones y el análisis funcional no lineal, disciplinas que se sitúan en la intersección entre el análisis, la geometría y la topología.
En los últimos años, la computación científica se ha revelado como una poderosa aliada en el estudio de estos problemas, al evidenciar fenómenos difíciles de detectar, incluso desde un punto de vista formal. Su comprensión matemática solo puede alcanzarse afrontando una serie de desafíos complejos y la consiguiente necesidad de desarrollar métodos analíticos cada vez más sofisticados para entenderlos.
Las líneas de investigación en las que hemos realizado contribuciones importantes son las siguientes:
Problemas fuera del equilibrio
En este trabajo, presentamos una serie de artículos que examinan ecuaciones de evolución de tipo parabólico. Hemos estudiado el papel de las incrustaciones óptimas de Sobolev-Gagliardo-Nirenberg y Gross-Sobolev en el comportamiento asintótico de ecuaciones para la difusión rápida en un medio poroso. Además, hemos obtenido nuevos resultados sobre fenómenos de explosión y desaparición en tiempo finito.
En otra línea de investigación, hemos estudiado modelos de trinquetes brownianos y sus fenómenos de transporte relevantes para la biología molecular. Hemos estudiado sistemas de competencia pertinentes para la modelización ecológica, concretamente, la segregación y la estabilidad inducidas en difusiones cruzadas espacialmente inhomogéneas. Además, hemos obtenido resultados fundamentales para ecuaciones de evolución en las que el término difusivo se sustituye por operadores de dispersión no locales, objetos que resultan naturales en los modelos, pero que aún no se comprenden bien desde el punto de vista matemático.
Perturbación singular
Este trabajo aborda problemas con parámetros que inducen la formación de soluciones con patrones de concentración en forma de medidas o soluciones singulares soportadas en conjuntos de menor dimensión al llevarlas a sus límites. En varios trabajos, hemos examinado el límite semiclasico en ecuaciones de Schrödinger no lineales. Asimismo, se validó una conjetura sobre la presencia de soluciones concentradas en curvas mediante una metodología empleada también en la construcción de múltiples interfaces para la ecuación de Allen-Cahn.
Criticidad
El papel de los exponentes críticos en las incrustaciones de Sobolev para la resolubilidad de problemas elípticos que involucran al operador laplaciano es bien conocido por los matemáticos. Sin embargo, el significado de este exponente es mucho menos claro en problemas no lineales, así como en problemas lineales cuando no se presenta la divergencia. Hemos considerado operadores de Pucci extremales y definido una nueva noción de criticidad cuyas implicaciones se han explorado en diversos artículos, introduciendo al mismo tiempo una nueva línea de investigación sobre la resolubilidad de estos problemas mediante soluciones de viscosidad.
Problemas con los operadores p-Laplace y sus extensiones
Esta línea de investigación se centra en ecuaciones y sistemas que involucran operadores de segundo orden con formas de divergencia no lineales, específicamente el p-Laplaciano y sus extensiones no homogéneas (j-Laplaciano). Estos estudios están motivados por problemas que surgen en la mecánica de medios continuos. Recientemente demostramos que el primer autovalor en el caso vectorial coincide con el del problema escalar correspondiente.
