Acerca del grupo de investigación
Los modelos de optimización y equilibrio son omnipresentes en las matemáticas y las ciencias. Se han convertido en un elemento fundamental para la toma de decisiones en la industria. Nuestra investigación se ha diversificado cada vez más como resultado de nuestras interacciones académicas e industriales.
Nuestra competencia en programación convexa y no lineal, sistemas dinámicos no suaves, optimización estocástica, optimización semialgebraica, análisis variacional y teoría de juegos, combinada con la experiencia de nuestros ingenieros, nos permite abordar problemas industriales relevantes desde una perspectiva multidisciplinaria.
Análisis variacional y desigualdades
Las desigualdades variacionales y las inclusiones diferenciales aparecen de forma recurrente en mecánica, teoría de juegos y economía. Nuestra investigación abarca propiedades de estabilidad y aproximación, así como el diseño y la evaluación de algoritmos computacionalmente eficientes. Esto permite resolver distintos tipos de problemas de equilibrio, especialmente en el sentido de Nash y Walras, así como otros problemas de optimización multiobjetivo, donde la optimalidad de Pareto desempeña un papel fundamental. Por otro lado, mediante técnicas de análisis variacional en un entorno estocástico, desarrollamos nuevos modelos de equilibrio financiero, para los cuales podemos proporcionar resultados de existencia, así como caracterizaciones de equilibrios a través de desigualdades variacionales.
Programación cónica y semiinfinita
Realizamos análisis de sensibilidad de problemas de programación cónica y semiinfinita para evaluar su estabilidad y robustez, lo cual es vital tanto por razones teóricas como numéricas. La caracterización de la calma (aislada) del mapa de soluciones es de especial importancia y puede expresarse en términos de ciertas condiciones de no degeneración. También encontramos que la calma del mapeo de soluciones en problemas de optimización lineal semiinfinita sujetos a perturbaciones canónicas permanece inalterada bajo la cualificación de restricciones de Slater. Una línea de investigación relacionada es la caracterización de la dualidad fuerte y la evaluación de las condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker (KKT), más allá de la cualificación de restricciones. En particular, estudiamos generalizaciones no suaves del Teorema de Sard para funciones vectoriales Lipschitz-continuas que pueden expresarse como selecciones de funciones suaves, y sus consecuencias en la genericidad de las condiciones KKT en el problema de optimización semiinfinita.
Sistemas dinámicos y algoritmos de tipo gradiente
Los sistemas dinámicos de tiempo continuo constituyen una importante fuente de conocimiento para el desarrollo de algoritmos rápidos y eficientes para la resolución de problemas de optimización, y resultan interesantes por sí mismos. La reparametrización de longitud de arco de las órbitas de dinámicas posiblemente no suaves revela propiedades de la geometría intrínseca de los conjuntos de nivel. Hemos descubierto que esto impide que las órbitas se detengan en singularidades irrelevantes y continúa su búsqueda de optimizadores globales. Nos interesan especialmente las estrechas conexiones con las propiedades geométricas de las funciones, que influyen en las tasas de convergencia de los algoritmos. También estudiamos sistemas de segundo orden, con énfasis en el caso convexo y cuasiconvexo. Por un lado, la comparación entre soluciones de primer y segundo orden permite detectar funciones de Lyapunov ocultas, que codifican propiedades asintóticas de las órbitas. Por otro lado, hemos descubierto que la dinámica inercial es fundamental para los algoritmos acelerados y que el estudio de los modelos de tiempo continuo resulta útil para su análisis. Finalmente, estudiamos la existencia de soluciones, la sensibilidad y el comportamiento asintótico de las órbitas de procesos de barrido suaves.
Aplicaciones industriales
Aplicamos los principios y métodos de optimización matemática para generar e implementar soluciones a problemas industriales de alto impacto. Caracterizamos la estrategia de alimentación óptima para un biorreactor que permita la limpieza de un lago en el menor tiempo posible, especialmente cuando el contaminante no se distribuye de forma homogénea. Analizamos también la pesca para maximizar la captura, considerando criterios de sostenibilidad. Desarrollamos modelos matemáticos para la ubicación óptima de escuelas y otras instalaciones, bajo la evolución estocástica de la demanda. Para el sistema de trenes urbanos, diseñamos políticas para mejorar la eficiencia en el uso de recursos humanos y energéticos. Analizamos modelos de bloques para determinar la secuencia óptima de extracción de mineral en minas subterráneas y a cielo abierto. Finalmente, modelamos redes complejas de producción y distribución para el mercado energético.
