Acerca del grupo de investigación
Este grupo aúna dos líneas de investigación con una larga trayectoria en CMM, basadas en intereses y actividades comunes. El grupo trabaja en diversos temas fundamentales de la teoría de la probabilidad, los procesos estocásticos, los sistemas dinámicos y la teoría ergódica, así como en aplicaciones a otras ramas de las matemáticas puras y aplicadas, como la teoría de números, la geometría, la física matemática y la biología matemática. Al mismo tiempo, sus miembros desarrollan teoría y aplicaciones en una amplia gama de disciplinas donde la aleatoriedad y la teoría de la información desempeñan un papel fundamental, incluyendo la ciencia de datos, la biología de sistemas y la bioinformática, la astroinformática, la minería y la geofísica.
Un enfoque importante del trabajo son los modelos estocásticos en física matemática. Un punto culminante de la investigación del grupo en esta dirección ha sido el punto fijo KPZ, el proceso de Markov universal que describe las fluctuaciones espaciales asintóticas de todos los modelos en la clase de universalidad KPZ, y sus sorprendentes conexiones con las EDP dispersivas. Otro foco de interés es el comportamiento a largo plazo de los sistemas de partículas interactuantes, donde el grupo ha realizado importantes contribuciones al desarrollo de técnicas probabilísticas para la propagación del caos en modelos de campo medio en teoría cinética como los sistemas de partículas de Kaç asociados con la ecuación de Boltzmann. Un enfoque de interés más reciente es la geometría aleatoria bidimensional. Aquí, los miembros del grupo han realizado contribuciones clave al estudio del campo libre gaussiano, que ha sido fundamental para comprender mejor las propiedades de los modelos fundamentales en física estadística bidimensional, incluyendo curvas aleatorias como la evolución de Schramm-Loewner y espacios métricos aleatorios como la gravedad cuántica de Liouville; un punto culminante es el descubrimiento de una transición de fase topológica para el campo libre gaussiano.
Las distribuciones cuasiestacionarias y las matrices M son dos áreas de interés de larga data para el grupo, que han dado lugar a dos monografías que describen el estado del arte de estas teorías. Otros trabajos del grupo se centran en el modelado estocástico en genética y dinámica de poblaciones, en la teoría del potencial finito y en el análisis estocástico, en particular la caracterización de martingalas locales multidimensionales y su relación con el fenómeno de las burbujas en finanzas. Un foco de interés reciente es la aplicación de ideas del transporte óptimo en la ciencia de datos.
En teoría ergódica y sistemas dinámicos, se realizaron contribuciones en diversas direcciones, con conexiones a la teoría de números, combinatoria, análisis, teoría de grupos y geometría. Se obtuvieron resultados profundos en dinámica de Teichmüller, como la resolución de la famosa conjetura de Kontsevich-Zorich sobre la simplicidad del espectro de Lyapunov para diferenciales cuadráticas. Además, se desarrolló un programa en dinámica simbólica para abordar problemas fundamentales de sistemas de Cantor mínimos, estableciendo una correspondencia entre sistemas de rango finito y subdesplazamientos S-ádicos, y proporcionando nuevas herramientas para resolver diversos problemas relacionados con la complejidad de los subdesplazamientos mínimos.
Otros resultados importantes tratan sobre problemas de recurrencia tanto en la teoría ergódica como en la dinámica topológica, como el análisis de secuencias de multicorrelación para acciones Zd y el estudio de conjuntos de recurrencia para acciones del semigrupo multiplicativo de enteros.