El Premio Abel 2020 es para Hillel Furstenberg, Universidad Hebrea de Jerusalén, Israel y Gregory Margulis, Universidad de Yale, EE.UU., por “ser pioneros en el uso de métodos de probabilidad y dinámica en la teoría de grupos, la teoría de números y la combinatoria”.
Hillel Furstenberg es un precursor y pionero en el uso de herramientas de probabilidades y dinámica en diferentes áreas de la matemática, como la teoría de grupos, la teoría de los números, la geometría y la combinatoria. Desde el inicio de su carrera, con gran intuición y sabiduría, fue interpretando nociones de la dinámica, particularmente de la teoría ergódica, en diferentes contextos, encontrando así profundas conexiones que hasta el día de hoy sirven como puente entre diversas disciplinas.
Un ejemplo relevante es su demostración del célebre “Teorema de Szemerédi” que dice que si subconjunto E de los enteros tiene densidad positiva, entonces contiene progresiones aritméticas tan largas como queramos. La noción de densidad positiva puede ser entendida de la siguiente manera: pensemos en que cada entero es un pixel y pintamos de color negro todos los enteros que pertenecen a nuestro conjunto E, y de blanco los que no están en nuestro conjunto. Ahora comenzamos a mirar el conjunto de cada vez más lejos (haciendo un zoom negativo) y nos preguntamos si los colores negros que pintamos se difuminan hasta desaparecer o si se mantienen en ciertas tonalidades de gris. Este último caso representa la densidad positiva e intuitivamente quiere decir que el conjunto E no era muy pequeño. Furstenberg logró dar una demostración de este resultado introduciendo una noción de recurrencia múltiple, que profundiza ideas de recurrencia que datan de Poincaré y que dieron el inicio de la teoría abstracta de los sistemas dinámicos. Las ideas trazadas por Furstenberg, constituyeron un programa de trabajo para comunidad en dinámica, que llevó a extender los teoremas ergódicos convencionales, a lo que hoy conocemos como teoremas ergódicos múltiples. Recordar que los teoremas ergódicos, demostrados en los años 30 por Von Neumann y Birkhoff, establecen que las medias temporales se comportan como las medias espaciales en sistemas que mezclan bien; una manera más sofisticada de hablar de la Ley de los Grandes Números.
Por otro lado, la demostración ergódica de Furstenberg abrió una veta que permitió demostrar resultados profundos en combinatoria y teoría de números, en su tiempo inalcanzables por otros métodos.
Con los años, los trabajos de Furstenberg se han convertido en grandes obras de la matemática del siglo XX, cuya belleza matemática hasta el día de hoy encanta a sus lectores y que siguen revelando nuevas pistas para la matemática del siglo XXI.
The Abel Prize 2020 (en inglés)
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