Abstract:
El espectro de Lagrange L y el espectro de Markov M son fractales en la recta real relacionados con propiedades diofánticas de los números irracionales o de formas cuadráticas indefinidas. Estos conjuntos han sido estudiados desde los trabajos fundamentales de Markov a finales del siglo XIX.
En 2018, Moreira mostró que las dimensiones de Hausdorff dim(L ∩ (-∞, t)) y dim(M ∩ (-∞, t)) son iguales. Tomando d(t) = dim(L ∩ (-∞, t)) = dim(M ∩ (-∞, t)), se sabe que d(t) = 0 para t ≤ 3, y Moreira también mostró que d(t) > 0 para todo t > 3. En esta charla, discutiremos cómo d(t) se ve cerca de t = 3 y, en particular, mostraremos que d(3 + exp(-r)) se comporta aproximadamente como log(r)/r para r > 0 suficientemente grande. Para esto, usaremos que estos conjuntos están estrechamente relacionados con los conjuntos de Cantor dinámicamente definidos.